一般说来，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便，于是，我们自然地考虑到利用低阶行列式来表示高阶行列式的问题，为此，先引进余子式和代数余子式的概念。
在n阶行列式中，把元素
所在的第
行和第
列划去后，留下来的
阶行列式叫做元素
的余子式，记作
；记
，
叫做元素
的代数余子式。
例如四阶行列式
中的元素
的余子式和代数余子式分别为
引理 一个n阶行列式，如果其中第
行所有元素除
外都为零，那么这行列式等于
与它的代数余子式的乘积，即
。
证 先证
位于第1行第1列的情形，此时
这种情形，明显有
，
又
，从而
。
再证一般情形，此时
将第在
行与第1行对调，调换次数为
;再将第
与第1列对调，调换次数为
。经过
调换，将
调到左上角，所得的行列式
，而元素
在
中的余子式仍然是
在
中的余子式
。
由于
位于
的左上角，利用前面的结果，有
，于是
。
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
或
证
根据引理，即得：
类似地，若按列证明，可得
证毕。
这个定理叫做行列式按行（列）展开法则。利用这一法则并结合行列式的性质，可以简单化行列式的计算。
例
保留
，把第3行其余元素变为0，然后按第3行展开：
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