等价无穷小替换公式 16个重要极限公式

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在求极限时，等阶无穷小替换和洛必达法则是我们最常用的方法中的两个。有时候把两者结合起来，会使极限问题求解变得更加简便。下面老黄以一个求极限的实例，介绍两种方法，让大家感受无穷小替换结合洛必达法则的魔力。

求极限：lim(x->0)(e^x+(1+2x)^(1/2))/ln(1+x^2).

分析：这是一个0/0型的不定式极限，它满足洛必达法则，即分子分母都是无穷小量，两个函数都可导，在x不等于0时，分母的导数也不等于0，两个函数分别求导之后，极限存在，当然这是需要求出来的。

因此我们可以对这个极限运用洛必达法则。当然，我们可以选择直接运用洛必达法则，也可以选择先应用等阶无穷小替换，把极限化得比较简单一点，然后再运用洛必达法则。接下来老黄就分别用这两种方法，求这个极限。大家可以感受一下，它们的不同。

解法一：【直接运用洛必达法则，分子的导数是e^x-(1+2x)^(-1/2), 分母的导数等于2x/(1+x^2)，因此】。

原极限=lim(x->0)[e^x-(1+2x)^(-1/2)]/[2x/(1+x^2)]=lim(x->0)[e^x-(1+2x)^(-1/2)](1+x^2)/2x

【得到的极限仍是0/0型不定极限，且同样满足洛必达法则，因此可以继续运用洛必达法则，但是显然分子求导变得特别复杂。最后的结果是】

=lim(x->0){[e^x+(1+2x)^(-3/2)](1+x^2)+2x[e^x-(1+2x)^(-1/2)]}/2

【虽然结果很复杂，所幸分母已经化为最简的数字2，分子也是一个在x=0连续的函数，只要将x=0代入，就可以求得】

原极限=1.

解法二：【先根据ln(1+x^2)与x^2是等阶无穷小，进行替换，就可以得到】

原极限=lim(x->0)(e^x+(1+2x)^(1/2))/x^2

【这也是一个0/0型的不定式极限，且符合洛必达法则的所有条件，所以可以运用洛必达法则，对分子分母同时求导，分子的导数上面已经求出来了，分子的导数是2x，因此】

=lim(x->0)[e^x-(1+2x)^(-1/2)]/(2x)

【虽然这个结果也并非特别简单，但第二次运用洛必达法则，就要比解法一简便得多，得到】

=lim(x->0)[e^x+(1+2x)^(-3/2)]/2

【分子也是一个在x=0连续的函数，所以将x=0直接代入，同样得到】

lim(x->0)(e^x+(1+2x)^(1/2))/ln(1+x^2)=1.

说明：e^x+(1+2x)^(1/2)和ln(1+x^2)，以及x^2都是等阶无穷小量。

怎么样，你体会到等阶无穷小替换与洛必达法则结合运用求极限的魔力了吗？